Теорема Пифагора

и её применение.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора ».

Иоганн Кеплер

Историческая тропинка

Полянка

Здоровья

Крепость Формул

Город Мастеров

Пифагор

(580 - 500 г. до н.э.)

Теорема Пифагора – теорема Невесты

У математиков арабского востока эта теорема получила название "теоремы невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы - "теорема невесты".

Теорема Пифагора у Евклида:

В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол

Теорема Пифагора во времена Пифагора теорема была сформулирована так:

«Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

Латинский перевод:

Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол

Немецкий перевод:

Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу

Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем, К результату мы придем.

Найдите: SP

Найдите: КN

Найдите: АD

Задача № 1

(индийского математика XII века Бхаскары)

"На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?"

Дано: АВС, ۦے С = 90 0 ,

ВС=3 фута, АС=4 фута.

Найти: ДС .

Решение:

ДС=ДВ+ВС, ВД = ВА.

По теореме Пифагора

АВ 2 =AC 2 +ВС 2 , АВ 2 = 9+16

АВ 2 =25, АВ=5.

ДС = 3 +5 = 8 (футов).

Ответ: 8 футов.

Задача № 2

Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта?

Дано: АВС, ۦے С = 90 0 ,

ВС= 6 км, АС= 8 км.

Найти: АВ .

Решение:

По теореме Пифагора

АВ 2 =AC 2 +ВС 2 , АВ 2 = 36 + 64

АВ 2 =100, АВ=10 км.

Ответ: 10 км. .

Задача № 498 (а – в) учебник (стр. 133)

а) 10 2 = 6 2 + 8 2 в) 15 2 = 9 2 + 12 2

100 = 36 + 64 225 = 81 + 144

100 = 100 225 = 225

Ответ: да Ответ: да

б) 7 2 = 5 2 + 6 2

Ответ: нет

Полянка

Здоровья

«Штурмуем»

Крепость Формул

Проверь друга!

I вариант

20см 2

30см 2

II вариант

36см 2

64см 2

Ещё землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали веревку, разделенную узлами

на 12 равных частей

25 и более баллов – оценка «5»

18 – 24 баллов – оценка «4»

12 -17 баллов – оценка «3»

Менее 12 баллов – оценка «2»

Спасибо

План урока Организационный момент Организационный момент Повторение Повторение Сообщение о жизни Пифагора Самосского Сообщение о жизни Пифагора Самосского Историческая справка о теореме Пифагора Историческая справка о теореме Пифагора Работа над теоремой Работа над теоремой Решение задач с применением теоремы Решение задач с применением теоремы Подведение итога урока Подведение итога урока Домашнее задание Домашнее задание

Пифагор Самосский Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. В семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен.

Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры.Пифагор Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.Пифагор Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». История теоремы Пифагора Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: Δ ABC, С = 90° Доказать: Доказательство: D Рассматривая cos B, получаем: Складывая (1) и (2), получаем: Рассматривая cos B, получаем: Опустим из вершины прямого угла высоту СД

«Доказательства теоремы Пифагора» Работу выполнила ученица группы 8-1,2 Кузакова Екатерина Содержание: Вступление Биография Пифагора Теорема Пифагора Доказательства теоремы Пифагоровы «тройки» Список использованной литературы История теоремы. Древний Китай Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Древний Египет Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея) По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Древний Вавилон Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Древняя Индия Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Биография Пифагора Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Другие формулировки теоремы. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". Доказательства теоремы Пифагора Простейшее доказательство. Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два. Доказательства методом разложения. Доказательство Эпштейна Начнем с доказательства Эпштейна; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Доказательство. 1. 2. 3. 4. Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали двух квадратов, построенных на катетах треугольника и проведем прямую CD перпендикулярно EF через вершину прямого угла треугольника. Из точек А и В Продлим стороны квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF. Соединим полученные на прямой EF точки с противолежащими вершинами квадрата и получим попарно равные треугольники. Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить на треугольники, составляющие квадраты на катетах.И получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника. Теорема доказана. Доказательство Нильсена. 1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника. 2. Построим прямую EF, параллельную ВС. 3. Построим прямую FH, араллельную АВ. 4. Построим прямую из точки D, параллельную СН. 5. Построим прямую из точки А, параллельную СG 6. Проведем отрезок MN, параллельный СН 7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Теорема доказана. F E H С В M N G А D Доказательство Бетхера. 1. 2. 3. Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую. Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью. Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника. Теорема доказана. Доказательство методом дополнения. От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат,построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Теорема доказана. Доказательство методом вычитания. Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: 1. 2. 3. 4. треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник 7 и квадрат 9; 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут: прямоугольники 6 и 7; прямоугольник 5; прямоугольник 1(заштрихован); прямоугольник 2(заштрихован); Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);; прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован); Теорема доказана Пифагоровы «тройки» В школе Пифагора также были подробно изучены так называемые Пифагоровы тройки натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство a 2 + b 2 = c 2 (a,b,c - натуральные числа) Таковы, например, числа 3, 4, 5. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам: a= 2n+1 b=2n (n+1) c=2n 2 +2n , где n - натуральное числа Список используемой литературы. Сайты в Интернете: http://th-pif.narod.ru/dopoln.htm http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm

Ход урока:

Здравствуйте, садитесь. Меня зовут Людмила Александровна, я рада всех Вас видеть (слайд 1).

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

Немецкий писатель-романист Шамиссо.

Эти слова посвящены одной из известнейших теорем математики. Теореме Пифагора (слайд 2).

Перед Вами портрет великого Пифагора (слайд 3). Он известен как древнегреческий философ и педагог. Пифагор - это прозвище, данное ему за красноречие («Пифагор» - значит «убеждающий речью»). Сам он ничего не писал, а все его мысли записывали ученики. Он был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности - её простота, красота и значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста и имеет огромное значение, потому что она применяется в различных областях, а тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о её широком применении. Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса», как получившая наибольшее число доказательств.

Тема нашего урока «Различные способы доказательства теоремы Пифагора».

Как вы считаете, чем мы с Вами будем заниматься на уроке?

(учащиеся формулируют цель урока).

Конечно же каждый из вас понимает, что за один урок невозможно рассмотреть 500 доказательств, но еще с двумя доказательствами теоремы, помимо рассмотренного вами ранее мы познакомимся.

Вы уже рассмотрели эту теорему, поэтому давайте повторим (слайд 4).

1. К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

2. Как звучит теорема Пифагора?

3. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6см и 8см?

4. Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5см, катет 3см. Найти длину второго катета?

Проводится обсуждение и проверка по ответам.

Учитель: Молодцы, мы с вами очень хорошо справились с заданием.

А знаете ли Вы, что доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», потому что некоторые слабые ученики бежали от геометрии. Они, не пытаясь понять доказательство, просто его зазубривали. Поэтому, возникали различные карикатуры, которые сопровождали доказательство теоремы (слайд 5).

Я думаю, что мы с Вами сможем преодолеть все трудности, и не будем спасаться бегством при рассмотрении доказательств этой теоремы.

Сейчас мы с Вами проведем небольшую лабораторную работу. (Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число и классная работа).

(кто-то работает у доски).

Вам нужно (слайд 6):

Начертить в тетрадях прямоугольный треугольник со сторонами 3; 4 и 5 см;
Построить на катетах и гипотенузе квадраты;
Найти площади построенных квадратов.

Оказывается, что мы с Вами рассмотрели один из частных случаев доказательства теоремы Пифагора (слайд 7).

У каждого из Вас лежат листочки с таблицами, которые называются Пифагоровыми тройками (слайд 8).

Пифагоровы тройки

Эти числа обладают рядом интересных особенностей, познакомимся с ними: один из «катетов» должен быть кратным трём;

один из «катетов» должен быть равен четырём;

одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

С помощью предложенных таблиц решите следующие задачи (слайд 9).

«Всё есть число», «Числа правят миром» - изречения Пифагорам (слайд 10). Он считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Нужно отметить, что все Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры. Давайте немного отвлечемся и поговорим о числовой мистике.

Число 1 означало огонь,

4 - воздух,

Сумма этих чисел 10 - весь мир,

5 - любовь.

Проведем физкультминутку и получим заряд энергии от чисел.

Раз, два - встать пора,

Три, четыре - руки шире,

Пять, шесть - тихо сесть,

Семь, восемь - лень отбросим.

Энергией мы зарядились, а сейчас рассмотрим еще одно геометрическое доказательство теоремы (слайд 11). Изобразите пожалуйста чертеж в своих тетрадях.

Этот способ доказательства рассмотрел индийский математик Бхаскара. В пояснение к доказательству он написал только одну строчку: «Смотри!» Другие ученые предположили, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников и площади квадрата. Давайте, восстановим это доказательство. Кто желает выступить в роли учёного?

Получаем: c²=4ab/2+(a-b)²

c=2ab+a²-2ab+b²

Как вы считаете, доказали мы, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов?

Очень хорошо. Мы надеемся, что ты станешь великим математиком.

А теперь давайте решим ещё несколько задач (слайд 12).

Домашнее задание (слайд 13): Найти интересное, на ваш взгляд, доказательство теоремы Пифагора и красочно его оформить. Лучшими работами оформим стенд.

Скажите, пожалуйста, сколько всего существует доказательств теорем Пифагора?
А сколько доказательств теорем теперь знаете Вы?
Сформулируйте ещё раз теорему.

На следующих уроках вы рассмотрите практическое применение рассмотренной нами теоремы.

По окончанию урока я попрошу каждого из Вас подойти к доске и прикрепить карточку с одним из предложенных Вам чисел. «10»(целый мир), если урок понравился; «5»(любовь) - если, что-то не понравилось и «1»(огонь) - если урок не понравился.

(слайд 14). Благодарю Вас всех за урок, мне было очень приятно с вами сотрудничать.